3. Хорды AB и CD пересекаются в точке E так, что AE = 3 см, BE = 36 см, CE : DE = 3 : 4. Найдите величину хорды CD и наименьшее значение радиуса этой окружности.

Решение:

По свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:

AE ⋅ BE = CE ⋅ DE

3 ⋅ 36 = CE ⋅ DE

108 = CE ⋅ DE

По условию, CE : DE = 3 : 4. Пусть CE = 3x, тогда DE = 4x.

Подставим в уравнение:

3x ⋅ 4x = 108

12x² = 108

x² = 9

x = 3 (так как длина отрезка не может быть отрицательной).

Теперь найдем длины отрезков хорды CD:

• CE = 3x = 3 ⋅ 3 = 9 см.
• DE = 4x = 4 ⋅ 3 = 12 см.

1. Величина хорды CD:

CD = CE + DE = 9 + 12 = 21 см.

2. Наименьшее значение радиуса этой окружности:

Для нахождения радиуса, нам нужно знать длину хорды AB и CD, а также расстояние от центра окружности до этих хорд. Однако, нам не дана информация о расположении хорд относительно центра. Наименьший радиус окружности, в которой можно провести хорду данной длины, будет равен половине этой хорды. Наибольшая хорда в окружности - это диаметр. Следовательно, наименьший возможный радиус будет определяться самой длинной хордой, которую мы можем провести.

Длина хорды AB = AE + BE = 3 + 36 = 39 см.

Длина хорды CD = 21 см.

Наибольшая хорда, которую можно провести в окружности, — это ее диаметр. Радиус окружности будет наименьшим, когда самая длинная хорда (39 см) станет диаметром. В этом случае радиус будет равен половине этой хорды.

R_min = AB / 2 = 39 / 2 = 19.5 см.

Ответ: Величина хорды CD = 21 см. Наименьшее значение радиуса окружности = 19.5 см.