1. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиусом 2 см так, что один из получившихся отрезков касательных равен 4 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 24 см.

Пусть стороны прямоугольного треугольника равны a, b, c (гипотенуза). Радиус вписанной окружности r = 2 см. Отрезки касательных от вершины прямого угла равны r. Отрезки от других вершин равны x и y. Тогда стороны треугольника: a = r + x, b = r + y, c = x + y. Периметр P = a + b + c = 2r + 2x + 2y = 24. Так как r = 2, то 4 + 2x + 2y = 24, откуда x + y = 10. Гипотенуза c = x + y = 10 см. Одна из сторон (например, a) равна r + x = 2 + x, другая (b) равна r + y = 2 + y. Так как x + y = 10, то одна из сторон равна 2 + x, другая 2 + (10 - x) = 12 - x. По теореме Пифагора: (2 + x)^2 + (12 - x)^2 = 10^2. 4 + 4x + x^2 + 144 - 24x + x^2 = 100. 2x^2 - 20x + 148 = 100. 2x^2 - 20x + 48 = 0. x^2 - 10x + 24 = 0. (x - 4)(x - 6) = 0. Если x = 4, то стороны равны 2 + 4 = 6 см и 12 - 4 = 8 см. Если x = 6, то стороны равны 2 + 6 = 8 см и 12 - 6 = 6 см. Стороны треугольника: 6 см, 8 см, 10 см.