3. Хорды MN и PK пересекаются в точке А так, что MA = 3 см, NA = 16 см, PA : KA = 1 : 3. Найдите PK и наименьшее значение радиуса этой окружности.

По свойству пересекающихся хорд: MA * NA = PA * KA. 3 * 16 = PA * KA. 48 = PA * KA. Так как PA : KA = 1 : 3, то KA = 3 * PA. Подставляем: 48 = PA * (3 * PA). 48 = 3 * PA^2. PA^2 = 16. PA = 4 см. Тогда KA = 3 * 4 = 12 см. Длина хорды PK = PA + KA = 4 + 12 = 16 см. Для нахождения радиуса, рассмотрим треугольник MPK. Угол MKP опирается на дугу MP. Угол MPN опирается на дугу MN. Угол NKP опирается на дугу NP. Угол KMN опирается на дугу KN. Наименьшее значение радиуса будет, когда хорда PK является диаметром. В этом случае радиус равен PK / 2 = 16 / 2 = 8 см. Однако, PK не обязательно является диаметром. Для нахождения радиуса, нам нужно знать другие параметры. Если предположить, что хорда MN перпендикулярна хорде PK, то центр окружности будет на пересечении серединных перпендикуляров. Без дополнительной информации о положении хорд, наименьшее значение радиуса не может быть однозначно определено. Если же вопрос подразумевает, что PK может быть диаметром, то радиус равен 8 см. Если же MN и PK пересекаются под произвольным углом, то для нахождения радиуса, нам нужно знать, например, длину хорды MN. Длина хорды MN = MA + NA = 3 + 16 = 19 см. Используя теорему о пересекающихся хордах, мы нашли длины отрезков хорды PK. Для нахождения радиуса, мы можем использовать формулу R = (abc) / (4S), где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь. Или, если мы знаем длину хорды и расстояние от центра до хорды. Без дополнительной информации, наименьшее значение радиуса не может быть определено. Если предположить, что PK является диаметром, то радиус равен 8 см. Если же MN является диаметром, то радиус равен 19/2 = 9.5 см. Наименьшее значение радиуса будет, когда хорда является диаметром. В данном случае, PK = 16 см, MN = 19 см. Наименьший радиус будет, если PK является диаметром, тогда R = 8 см.