2. Точки Е и Н делят окружность с центром О на дуги ЕАН и ЕКН так, что дуга ЕКН на 90° меньше дуги ЕАН, ЕА – диаметр окружно- сти. Найдите углы ЕКА, ЕАН, ЕКН.

Решение:

Пусть \( \alpha \) — градусная мера дуги ЕАН, а \( \beta \) — градусная мера дуги ЕКН. Вся окружность составляет \( 360^{\circ} \).

Из условия задачи известно, что дуга ЕКН на \( 90^{\circ} \) меньше дуги ЕАН:

\[ \beta = \alpha - 90^{\circ} \]\[ \alpha + \beta = 360^{\circ} \]\[ \alpha + (\alpha - 90^{\circ}) = 360^{\circ} \]\[ 2\alpha = 450^{\circ} \]\[ \alpha = 225^{\circ} \]\[ \beta = 225^{\circ} - 90^{\circ} = 135^{\circ} \]

Таким образом, градусная мера дуги ЕАН равна \( 225^{\circ} \), а дуги ЕКН — \( 135^{\circ} \).

1. Найдём угол ЕАН.

Угол ЕАН — вписанный угол, опирающийся на дугу ЕКН. Его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается:

\[ \angle EAH = \frac{1}{2} \text{arc}(EKH) = \frac{1}{2} \cdot 135^{\circ} = 67.5^{\circ} \]

2. Найдём угол ЕКН.

Угол ЕКН — вписанный угол, опирающийся на дугу ЕАН. Его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается:

\[ \angle EKH = \frac{1}{2} \text{arc}(EAH) = \frac{1}{2} \cdot 225^{\circ} = 112.5^{\circ} \]

3. Найдём угол ЕКА.

ЕА — диаметр окружности. Угол ЕКА — вписанный угол, опирающийся на полуокружность (дугу ЕА). Такой угол является прямым.

\[ \angle EKA = 90^{\circ} \]

Ответ: Углы равны: \( \angle EKA = 90^{\circ} \), \( \angle EAH = 67.5^{\circ} \), \( \angle EKH = 112.5^{\circ} \).