1. В равнобедренном треугольнике ABC, AD — медиана, проведенная к стороне BC. DP перпендикулярно AB, DF перпендикулярно AC. Докажите, что DP = DF. Доказательство: треугольник ABC — равнобедренный.

Краткая запись:

• Треугольник ABC — равнобедренный
• AD — медиана
• DP ⊥ AB, DF ⊥ AC
• Найти: DP = DF

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Используем свойства равнобедренного треугольника. Так как AB = AC, медиана AD также является биссектрисой и высотой, т.е. ∠BAD = ∠CAD и ∠ADB = ∠ADC = 90°.
2. Шаг 2: Рассмотрим треугольники ADP и ADF.
• AD — общая сторона.
• ∠ADP = ∠ADF (так как AD — биссектриса).
• ∠APD = ∠AFD = 90° (по условию).
3. Шаг 3: Треугольники ADP и ADF равны по гипотенузе и острому углу (AD — общая гипотенуза, ∠BAD = ∠CAD — острые углы).
4. Шаг 4: Из равенства треугольников ADP = ADF следует равенство соответствующих сторон: DP = DF.

Доказано.