1. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Так как трапеция равнобедренная и один из углов равен 60°, то углы при основании равны 60°. Опустим высоту из вершины тупого угла на большее основание. Образуется прямоугольный треугольник, где гипотенуза равна 8 см (боковая сторона), а угол равен 60°. Найдем прилежащий катет, который составляет половину разности оснований:

\( \text{прилежащий катет} = 8 \cdot \cos(60^{\circ}) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см} \).

Это половина разности оснований: \( \frac{a - b}{2} = 4 \text{ см} \), где \( a \) — большее основание, \( b \) — меньшее основание.

Зная, что меньшее основание \( b = 7 \) см, найдем большее основание \( a \):

\( a - 7 = 2 \cdot 4 \)

\( a - 7 = 8 \)

\( a = 15 \text{ см} \).

Средняя линия трапеции вычисляется по формуле: \( m = \frac{a+b}{2} \).

\( m = \frac{15 + 7}{2} = \frac{22}{2} = 11 \text{ см} \).

Ответ: 11 см.