1. В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение:

1. Найдём высоту трапеции.

   Проведём две высоты из вершин меньшего основания к большему. В равнобедренной трапеции эти высоты отсекают равные отрезки от большего основания. Длина большего основания равна 8, меньшего — 2. Следовательно, сумма длин отсекаемых отрезков равна 8 - 2 = 6. Так как отрезки равны, длина каждого отрезка равна 6 / 2 = 3.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и одним из отсекаемых отрезков. Угол при основании равен 45°, поэтому второй острый угол равен 90° - 45° = 45°. Такой треугольник является равнобедренным, значит, высота равна длине отсекаемого отрезка, то есть 3.

2. Вычислим площадь трапеции.

   Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$, где $$a$$ и $$b$$ — основания, $$h$$ — высота.

   Подставим известные значения: $$S = \frac{2+8}{2} \cdot 3 = \frac{10}{2} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15$$.

Ответ: 15