1. В равностороннем треугольнике ABC со стороной 10 см точки K и M — середины сторон AB и BC соответственно. а) Докажите, что AKMC — трапеция. б) Найдите периметр AKMC.

а) Так как K и M — середины сторон AB и BC, отрезок KM является средней линией треугольника ABC. Поэтому \(KM \parallel AC\). Следовательно, в четырёхугольнике AKMC стороны KM и AC параллельны, значит, AKMC — трапеция.

б) Найдём длины сторон:

1. \(AK=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\) см;
2. \(MC=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5\) см;
3. по свойству средней линии \(KM=\frac{AC}{2}=\frac{10}{2}=5\) см;
4. \(CA=10\) см.

Периметр:

\(P=AK+KM+MC+CA=5+5+5+10=25\) см.

Ответ: а) AKMC — трапеция; б) \(25\) см.