1. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Докажите, что BMKN — ромб.

Так как M, N и K — середины сторон, имеем: BM = AB/2 и BN = BC/2. По свойству средней линии треугольника MK = BC/2, а KN = AB/2.

Треугольник ABC равносторонний, поэтому AB = BC. Следовательно, BM = MK = KN = NB.

Значит, все стороны четырёхугольника BMKN равны, поэтому BMKN — ромб.