1) В тетраэдре ABCD точки M, K и P — соответственно середины рёбер AD, BD и DC. Доказать, что плоскость MKP параллельна плоскости ABC, и найти площадь △ABC, если площадь △MKP равна 48 см².

В треугольнике ADB отрезок MK соединяет середины AD и DB, поэтому по теореме о средней линии MK ∥ AB.

В треугольнике BDC отрезок KP соединяет середины BD и DC, поэтому KP ∥ BC.

Прямые MK и KP пересекаются и лежат в плоскости MKP; соответственно, AB и BC пересекаются и лежат в плоскости ABC. Поскольку две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой, плоскости MKP и ABC параллельны.

Треугольник MKP — образ треугольника ABC при гомотетии с центром D и коэффициентом 1/2: точки M, K, P — середины отрезков DA, DB, DC. Поэтому отношение площадей равно квадрату коэффициента гомотетии:

\(S_{MKP}=\frac{1}{4}S_{ABC}\).

\(S_{ABC}=4\cdot48=192\text{ см}^2\).

Ответ: плоскость MKP параллельна плоскости ABC; площадь △ABC равна 192 см².