1. В треугольнике ABC ∠A = 100°, ∠C = 40°. а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите его боковые стороны. б) Отрезок СК — биссектриса данного треугольника. Найдите углы, которые она образует со стороной AB.

Решение:

а) Доказательство:

1. Сумма углов треугольника равна \( 180° \). В треугольнике ABC \( \angle A = 100° \), \( \angle C = 40° \).
2. Найдём \( \angle B \): \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 100° - 40° = 40° \).
3. Так как \( \angle B = \angle C = 40° \), треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC.
4. Боковые стороны равнобедренного треугольника — это стороны, прилежащие к основанию: AB и BC.

б) Нахождение углов:

1. СК — биссектриса \( \angle C \), значит, она делит угол пополам: \( \angle ACK = \angle KCB = \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} \cdot 40° = 20° \).
2. Рассмотрим треугольник BKC. Сумма углов треугольника равна \( 180° \). \( \angle BKC = 180° - \angle B - \angle KCB = 180° - 40° - 20° = 120° \).
3. \( \angle AKC \) и \( \angle BKC \) — смежные углы, их сумма равна \( 180° \).
4. Найдём \( \angle AKC \): \( \angle AKC = 180° - \angle BKC = 180° - 120° = 60° \).

Ответ: а) Треугольник ABC равнобедренный, боковые стороны AB и BC. б) Углы, которые СК образует со стороной AB, равны \( 60° \) и \( 120° \).