1. В треугольнике ABC ∠A = 100°, ∠C = 40°. а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите его боковые стороны. б) Отрезок СК — биссектриса данного треугольника. Найдите углы, которые она образует со стороной АВ.

Решение:

1. а) Доказательство равнобедренности треугольника ABC:

1. Найдем угол ∠B в треугольнике ABC. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:
   \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 100° - 40° = 40° \)
2. Так как \( \angle B = \angle C = 40° \), то треугольник ABC является равнобедренным.
3. Боковые стороны: AB и BC (стороны, лежащие напротив равных углов). Основание — AC.

1. б) Углы, которые образует биссектриса СК со стороной АВ:

1. Биссектриса СК делит угол ∠C пополам:
   \( \angle ACK = \angle BCK = \frac{\angle C}{2} = \frac{40°}{2} = 20° \)
2. Рассмотрим треугольник BKC. Сумма углов в нем равна 180°:
   \( \angle BKC = 180° - \angle B - \angle BCK = 180° - 40° - 20° = 120° \)
3. Угол ∠AKC является смежным к углу ∠BKC, поэтому:
   \( \angle AKC = 180° - \angle BKC = 180° - 120° = 60° \)
4. Таким образом, биссектриса СК образует со стороной АВ углы ∠AKC = 60° и ∠BKC = 120°.

Ответ:

• а) Треугольник ABC равнобедренный, боковые стороны AB и BC.
• б) Углы, которые СК образует со стороной АВ: 60° и 120°.