1. В треугольнике ABC ∠A = 70°, ∠C = 55°. а) Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный, и укажите его основание. б) Отрезок BM – высота данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол ABC.

Решение:

1. а) Доказательство равнобедренности треугольника:
   • Сумма углов в треугольнике равна 180°.
   • Найдем угол B: ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 70° - 55° = 55°.
   • Так как ∠B = ∠C = 55°, то треугольник ABC является равнобедренным.
   • Основание равнобедренного треугольника – сторона, противоположная углу при вершине. Углы при основании равны, значит, основание – это сторона BC, так как она противоположна углу A.
2. б) Нахождение углов, на которые делит высота BM угол ABC:
   • BM – высота, значит, BM ⊥ AC. Следовательно, ∠BMA = 90°.
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM: ∠BAM = ∠A = 70°, ∠BMA = 90°.
   • Найдем ∠ABM: ∠ABM = 180° - 90° - 70° = 20°.
   • Угол ABC = 55°.
   • Высота BM делит угол ABC на два угла: ∠ABM и ∠MBC.
   • ∠MBC = ∠ABC - ∠ABM = 55° - 20° = 35°.

Ответ:

• а) Треугольник ABC равнобедренный с основанием BC.
• б) Высота BM делит угол ABC на углы 20° и 35°.