1. В треугольнике ABC AB = 6 см, AC = 8 см, а его площадь равна 12√2 см². Найдите третью сторону треугольника, если известно, что угол A — тупой.

Площадь через две стороны и угол между ними: \(S=\frac12 AB\cdot AC\cdot\sin A\). Поэтому \(12\sqrt2=\frac12\cdot6\cdot8\cdot\sin A\), откуда \(\sin A=\frac{\sqrt2}{2}\). Так как угол A тупой, \(\cos A=-\frac{\sqrt2}{2}\).

По теореме косинусов для стороны BC:

\(BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A=6^2+8^2-2\cdot6\cdot8\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=100+48\sqrt2.\)

Ответ: \(BC=\sqrt{100+48\sqrt2}\) см.