2. В треугольнике MNK ∠M = α, ∠N = β, NK = a. Определите стороны треугольника и его площадь.

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle K=180^\circ-\alpha-\beta\). По теореме синусов сторона NK лежит напротив угла M:

\(\frac{NK}{\sin\alpha}=\frac{MK}{\sin\beta}=\frac{MN}{\sin(\alpha+\beta)}.\)

Так как \(NK=a\), получаем \(MK=\frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}\), а \(MN=\frac{a\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha}\).

Площадь вычислим по двум сторонам, образующим угол N: \(S=\frac12 MN\cdot NK\cdot\sin\beta\). Следовательно, \(S=\frac{a^2\sin\beta\sin(\alpha+\beta)}{2\sin\alpha}\).

Ответ: \(NK=a\), \(MK=\frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}\), \(MN=\frac{a\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha}\); \(S=\frac{a^2\sin\beta\sin(\alpha+\beta)}{2\sin\alpha}\).