1. В треугольнике ABC ∠ABC = 45°, AB = 5, AC = 6√2. Найдите площадь треугольника ABC.

Обозначим BC = x. Применим теорему косинусов к стороне AC, лежащей напротив угла B:

\(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos B\).

\(72=25+x^2-5\sqrt{2}x\), поэтому \(x^2-5\sqrt{2}x-47=0\).

Положительный корень: \(x=\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{238}}{2}\).

Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними:

\(S=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin B=\frac12\cdot5\cdot\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{238}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{25+10\sqrt{119}}{8}\).

Ответ: \(\frac{25+10\sqrt{119}}{8}\).