3. В треугольнике ABC ∠A = 45°, ∠C = 15°, BC = 4√6. Найдите длину стороны AC и радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Сначала найдём третий угол: \(\angle B=180^\circ-45^\circ-15^\circ=120^\circ\).

По теореме синусов, обозначив радиус описанной окружности через \(R\): \(\frac{BC}{\sin A}=2R\). Тогда

\(R=\frac{4\sqrt6}{2\sin45^\circ}=\frac{4\sqrt6}{\sqrt2}=4\sqrt3\).

Для стороны AC теорема синусов даёт \(\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}\), поэтому

\(AC=4\sqrt6\cdot\frac{\sin120^\circ}{\sin45^\circ}=4\sqrt6\cdot\frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}=12\).

Ответ: AC = 12, R = 4√3.