1. В треугольнике ABC ∠C = 30°, AC = 10 см, BC = 8 см. Через вершину A проведена прямая a, параллельная BC. Найти: а) расстояние от точки B до прямой AC; б) расстояние между прямыми a и BC.

Так как прямая, проходящая через A, параллельна BC, расстояние между прямыми a и BC равно расстоянию от точки A до прямой BC.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой к стороне AC:

\(d(B,AC)=BC\sin\angle C=8\sin30^\circ=8\cdot0.5=4\) см.

Расстояние между параллельными прямыми равно высоте из вершины A к стороне BC. Площадь треугольника выразим двумя способами:

\(S=\frac12 AC\cdot BC\sin C=\frac12\cdot10\cdot8\cdot0.5=20\text{ см}^2\).

Тогда \(S=\frac12 BC\cdot h_a\), поэтому \(h_a=\frac{2S}{BC}=\frac{40}{8}=5\) см.

Ответ: а) 4 см; б) 5 см.