1. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 12, cos BAC = √19/10. Найдите высоту AH.

Обозначим угол BAC через α, а AC = BC через x. По теореме косинусов для угла A: cos α = AB/(2x), поэтому x = 12/(2 · √19/10) = 60/√19.

Так как треугольник равнобедренный, высота из A к BC равна x · sin 2α. При этом sin α = √(1 − cos² α) = 3/10, поэтому sin 2α = 2 sin α cos α = 3√19/50.

Следовательно, AH = (60/√19) · (3√19/50) = 18/5.

Ответ: 18/5.