1. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 4, cos BAC = √51/10. Найдите высоту AH.

Пусть AC = BC = x. По теореме косинусов для угла BAC:

\(x^2=4^2+x^2-2\cdot4\cdot x\cdot\frac{\sqrt{51}}{10}\).

Отсюда \(8x\cdot\frac{\sqrt{51}}{10}=16\), поэтому \(x=\frac{20}{\sqrt{51}}\).

Так как треугольник равнобедренный, высота из A к BC равна \(AH=AC\sin C\). Углы при основании равны, поэтому \(C=180^\circ-2A\), и \(\sin C=\sin 2A\). При этом \(\sin A=\sqrt{1-\frac{51}{100}}=\frac{7}{10}\).

Следовательно, \(AH=\frac{20}{\sqrt{51}}\cdot2\cdot\frac{\sqrt{51}}{10}\cdot\frac{7}{10}=\frac{14}{5}\).

Ответ: \(\frac{14}{5}\).