2 Длины векторов а и б равны соответственно 16 и 6, а их скалярное произведение равно 24. Найдите длину вектора с, если с = \(\frac{1}{4}\)a + b.

Дано:

• \(|a| = 16\)
• \(|b| = 6\)
• \(a \cdot b = 24\)
• \(c = \frac{1}{4}a + b\)

Найти: \(|c|\)

Решение:

1. Длина вектора \(c\) находится по формуле \(|c|^2 = c \cdot c\).
2. Подставим выражение для \(c\):

\( |c|^2 = (\frac{1}{4}a + b) \cdot (\frac{1}{4}a + b) \)

3. Раскроем скалярное произведение:

\( |c|^2 = (\frac{1}{4}a) \cdot (\frac{1}{4}a) + (\frac{1}{4}a) \cdot b + b \cdot (\frac{1}{4}a) + b \cdot b \)

\( |c|^2 = \frac{1}{16} (a \cdot a) + \frac{1}{4} (a \cdot b) + \frac{1}{4} (a \cdot b) + (b \cdot b) \)

\( |c|^2 = \frac{1}{16} |a|^2 + \frac{1}{2} (a \cdot b) + |b|^2 \)

4. Подставим известные значения:

\( |c|^2 = \frac{1}{16} (16)^2 + \frac{1}{2} (24) + (6)^2 \)

\( |c|^2 = \frac{1}{16} \cdot 256 + 12 + 36 \)

\( |c|^2 = 16 + 12 + 36 \)

\( |c|^2 = 64 \)

5. Найдем длину вектора \(c\):

\( |c| = \sqrt{64} = 8 \)

Ответ: 8