1. В треугольнике ABC медиана BM в два раза меньше стороны AB и образует с ней угол 40°. Найдите угол ABC.

Обозначим длину стороны AB через c. Так как BM = AB/2, а угол ABM равен 40°, используем векторы: поскольку M — середина AC, вектор BC = 2 вектор BM − вектор BA.

Тогда квадрат длины BC равен \(BC^2=4BM^2+AB^2-4\cdot BM\cdot AB\cos 40^\circ=2c^2(1-\cos 40^\circ)=4c^2\sin^2 20^\circ\), поэтому \(BC=2c\sin 20^\circ\).

Скалярное произведение векторов BA и BC: \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=2BM\cdot AB\cos 40^\circ-AB^2=c^2(\cos 40^\circ-1)=-2c^2\sin^2 20^\circ\).

Следовательно, \(\cos\angle ABC=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{AB\cdot BC}=-\sin 20^\circ=\cos 110^\circ\).

Ответ: \(\angle ABC=110^\circ\).