3. Докажите, что если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

Пусть AM — медиана, проведённая к стороне BC, а M — середина BC. Обозначим BC = a. По условию \(AM=\frac a2\), и поскольку M — середина BC, \(BM=CM=\frac a2\).

По теореме Аполлония для медианы AM: \(AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)\).

Подставим известные длины: \(AB^2+AC^2=2\left(\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}\right)=a^2=BC^2\).

По обратной теореме Пифагора угол A, лежащий напротив стороны BC, прямой.

Ответ: треугольник прямоугольный, \(\angle A=90^\circ\).