1. В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D, так, что BD : BA = 1 : 3. Плоскость, параллельная прямой AC и проходящая через точку D, пересекает отрезок BC в точке D₁. а) Докажите, что треугольник BDD₁ подобен треугольнику ABC. б) Найдите AC, если DD₁ = 4 см.

а) Так как D лежит на AB, а D₁ — на BC, угол DB D₁ равен углу ABC. Кроме того, DD₁ ∥ AC, поэтому соответствующие углы при этих параллельных прямых равны. Следовательно, треугольники BDD₁ и BAC подобны по двум углам.

Коэффициент подобия малого треугольника к большому равен BD/BA = 1/3. Значит, DD₁/AC = 1/3. Подставим DD₁ = 4 см: AC = 3 · 4 = 12 см.

Ответ: а) △BDD₁ ∼ △BAC; б) AC = 12 см.