2. На стороне AD параллелограмма ABCD выбрана точка A₁, так, что DA₁ = 4 см. Плоскость, параллельная диагонали AC, проходит через точку A₁ и пересекает сторону CD в точке C₁. а) Докажите, что треугольник C₁DA₁ подобен треугольнику ABC. б) Найдите AC, если BC = 10 см, A₁C₁ = 6 см.

а) Поскольку A₁ лежит на AD, а C₁ — на CD, угол A₁DC₁ равен углу ADC. В параллелограмме ADC = ABC. Также A₁C₁ ∥ AC, поэтому углы между сторонами этих прямых равны. Следовательно, △C₁DA₁ ∼ △CAB: соответствие вершин C₁ ↔ C, D ↔ A, A₁ ↔ B.

б) Из подобия A₁C₁/BC = DA₁/AB. В параллелограмме AB = CD и AD = BC, но имеющихся данных недостаточно, чтобы определить отношение DA₁/AB: известны DA₁ = 4 см и BC = 10 см, однако AB (равная CD) не задана. Поэтому вычислить AC однозначно нельзя. Нужна длина AB или CD либо дополнительное соотношение, позволяющее её найти.

Ответ: доказательство выполнено; для нахождения AC не хватает длины AB (или CD) либо другого связующего условия.