1. В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D, такая, что BD : BA = 1 : 3. Плоскость, параллельная прямой AC и проходящая через точку D, пересекает отрезок BC в точке D₁. а) Докажите, что треугольник BDD₁ подобен треугольнику BAC. б) Найдите AC, если DD₁ = 4 см.

а) Так как D лежит на AB, а D₁ — на BC, то ∠DBD₁ = ∠ABC. Кроме того, DD₁ ∥ AC, поэтому ∠BDD₁ = ∠BAC и ∠BD₁D = ∠BCA. Следовательно, треугольники BDD₁ и BAC подобны по двум углам.

б) Из подобия следует, что BD/BA = DD₁/AC. По условию BD/BA = 1/3, поэтому 4/AC = 1/3, откуда AC = 12 см.

Ответ: 12 см.