1. В треугольнике ABC проведена медиана BM к стороне AC. Известно, что AB = 7 см, BC = 9 см, а медиана BM равна 5 см. При этом ∠ABM = ∠MBC. Вычислите периметр треугольника ABC.

Условия противоречат друг другу: если медиана BM одновременно является биссектрисой угла B, то треугольник ABC равнобедренный и AB = BC. Однако указаны AB = 7 см и BC = 9 см. Поэтому треугольника, удовлетворяющего всем условиям, не существует.

Если не учитывать условие ∠ABM = ∠MBC и использовать только три заданные длины, можно вычислить AC по формуле медианы, где BM — медиана к стороне AC:

\(BM^2=\frac{2AB^2+2BC^2-AC^2}{4}\).

\(25=\frac{2\cdot7^2+2\cdot9^2-AC^2}{4}\), откуда \(AC^2=160\) и \(AC=4\sqrt{10}\) см.

Тогда периметр по этим трём длинам равен \(7+9+4\sqrt{10}=16+4\sqrt{10}\) см. Это значение относится к условию без равенства углов.