3. В треугольнике ABC проведена медиана BM. На продолжении медианы за точку M отложен отрезок MD, равный BM. Докажите, что отрезки AD и BC равны.

Так как BM — медиана треугольника ABC, M — середина AC, поэтому AM = MC. По условию MD = BM, а точки B, M, D лежат на одной прямой, значит, M — середина BD.

Рассмотрим четырёхугольник ABCD. Его диагонали AC и BD пересекаются в точке M и делятся этой точкой пополам. Следовательно, ABCD — параллелограмм. У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому \(AD=BC\). Что и требовалось доказать.