1. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, точка M является серединой AC:

\(AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{84}{2} = 42\).

Обозначим \(AH = x\). Тогда \(HM = |x - 42|\), а \(HC = 84 - x\).

По теореме Пифагора:

\(BM^2 = BH^2 + HM^2\),

\(BC^2 = BH^2 + HC^2\).

По условию \(BM = BC\), поэтому \(HM^2 = HC^2\), то есть \(HM = HC\).

Следовательно, \(x - 42 = 84 - x\).

\(2x = 126\),

\(x = 63\).

Ответ: \(AH = 63\).