1. В треугольнике ABC равны медианы AA₁ и CC₁. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.

Обозначим стороны треугольника стандартно: \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\). По формуле медианы:

\[m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4},\qquad m_c^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}.\]

Так как \(m_a=m_c\), приравниваем квадраты и сокращаем одинаковые слагаемые:

\[2b^2+2c^2-a^2=2a^2+2b^2-c^2,\qquad 3c^2=3a^2.\]

Следовательно, \(a=c\), то есть \(BC=AB\). Значит, треугольник \(ABC\) равнобедренный.