2. В прямоугольном треугольнике ABC отметили середину гипотенузы точку M и точку N на катете AC так, что AN:NC = 2:1. Докажите, что ∠ANM = ∠BNC.

В таком виде утверждение неверно: условия не задают равенство этих углов. Например, возьмём прямоугольный треугольник с прямым углом при A: \(A=(0,0)\), \(B=(0,2)\), \(C=(3,0)\). Тогда \(AB\) — гипотенуза, а \(AC\) — катет.

Из отношения \(AN:NC=2:1\) получаем \(N=(2,0)\). Середина гипотенузы \(AB\) — точка \(M=(0,1)\). Угол \(ANM\) имеет тангенс \(1/2\), тогда как угол \(BNC\) имеет тангенс \(1\) для его острого дополнения до развернутого угла; сами углы также не равны. Поэтому привести доказательство по данным условиям нельзя.

Вероятно, в условии есть опечатка либо не хватает дополнительного условия. Проверьте формулировку или пришлите её целиком.