1. В треугольнике ABC угол B равен 120°, а длина стороны AB на 3√3 меньше полупериметра треугольника. Найдите радиус окружности, касающейся стороны BC и продолжений сторон AB и AC.

Обозначим стороны через a = BC, b = AC, c = AB, а полупериметр — через p. По условию c = p − 3√3, поэтому p − c = 3√3.

Пусть окружность касается BC и продолжений AB и AC. Её центр лежит на внешней биссектрисе угла A и на биссектрисе угла B; радиус этой окружности равен радиусу вневписанной окружности, противоположной вершине A. Для него r = Δ/(p − a).

По формуле площади через две стороны и угол между ними: Δ = ac·sin 120°/2 = ac√3/4. Кроме того, по теореме косинусов b² = a² + c² + ac. Тогда p − a = (b + c − a)/2. Связь p − c = 3√3 даёт a + b − c = 6√3. Возведём равенство b = c − a + 6√3 в квадрат и приравняем теореме косинусов:

a² + c² + ac = (c − a + 6√3)².

После упрощения получаем a + c = 8√3, а из заданной связи b = 2√3. Следовательно, p − a = (b + c − a)/2 = 2√3. Поэтому

r = (ac√3/4)/(2√3) = ac/8.

Из a + c = 8√3 и теоремы косинусов, с b = 2√3, следует ac = 16. Значит, r = 2.

Ответ: 2.