2. Длина катета AC прямоугольного треугольника ABC равна 3 см. Окружность с диаметром AC пересекает гипотенузу AB в точке M. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AM : MB = 9 : 16.

Поскольку AC — катет, прямой угол расположен при C. Обозначим AM = 9k, MB = 16k, тогда AB = 25k.

Так как M лежит на окружности с диаметром AC, угол AMC прямой. При этом A, M, B лежат на одной прямой, поэтому CM ⟂ AB. Значит, CM — высота, опущенная на гипотенузу.

Для высоты к гипотенузе справедливо AC² = AB · AM. Подставим AC = 3 см:

9 = 25k · 9k, откуда k = 1/5 см. Следовательно, AB = 5 см.

По теореме Пифагора BC = √(AB² − AC²) = √(25 − 9) = 4 см. Площадь равна

S = AC · BC / 2 = 3 · 4 / 2 = 6 см².

Ответ: 6 см².