3. Диагонали четырёхугольника ABCD, вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке M. Известно, что ∠ABC = 72°, ∠BCD = 102°, ∠AMD = 110°. Найдите ∠ACD.

Так как ABCD — вписанный четырёхугольник, противоположные углы в сумме дают 180°. Поэтому ∠ADC = 180° − 72° = 108°.

Точка M лежит на диагонали BD, значит ∠ADM = ∠ADB. В треугольнике AMD:

∠MAD + ∠ADM = 180° − 110° = 70°.

Углы ∠ADB и ∠ACB опираются на одну хорду AB, поэтому они равны. Следовательно, ∠ACB = ∠ADM.

В треугольнике BCD угол CBD = ∠ABC − ∠ABD. Углы ∠ABD и ∠ACD опираются на одну хорду AD, поэтому равны. Также ∠ABD = ∠MAD, поскольку ∠ABD и ∠MAD опираются на хорду BD. Тогда ∠CBD = 72° − ∠MAD.

Сумма углов треугольника BCD даёт ∠CBD + ∠BDC = 180° − 102° = 78°. Так как ∠BDC = ∠ADC − ∠ADB = 108° − ∠ADM, получаем:

(72° − ∠MAD) + (108° − ∠ADM) = 78°.

Отсюда ∠MAD + ∠ADM = 102°, что противоречит ранее полученному значению 70°. Значит, при прочтении условий как диагоналей AC и BD, пересекающихся в M, данные несовместимы: такого вписанного четырёхугольника не существует.

Ответ: условие противоречиво; найти ∠ACD невозможно.