Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
1) В треугольнике ABC, угол C равен 90 градусов, угол A равен 30 градусов, CE - биссектриса. Длина BE равна 6 см. Найдите угол BEA, длину CE и длину AC.
Ответ:
Решение:
- Углы треугольника ABC:
- \[ \angle C = 90^{\circ} \]
- \[ \angle A = 30^{\circ} \]
- \[ \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \]
- Рассмотрим треугольник BCE:
- CE - биссектриса, значит \[ \angle BCE = \angle ACE = \frac{\angle C}{2} = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \]
- \[ \angle CBE = \angle B = 60^{\circ} \]
- \[ \angle BEC = 180^{\circ} - \angle BCE - \angle CBE = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 60^{\circ} = 75^{\circ} \]
- Угол BEA:
- \[ \angle BEA = 180^{\circ} - \angle BEC = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ} \]
- Длина CE:
- В треугольнике BCE: \[ \angle BCE = 45^{\circ}, \angle CBE = 60^{\circ}, \angle BEC = 75^{\circ} \]
- По теореме синусов: \[ \frac{BE}{\sin(\angle BCE)} = \frac{CE}{\sin(\angle CBE)} \]
- \[ \frac{6}{\sin(45^{\circ})} = \frac{CE}{\sin(60^{\circ})} \]
- \[ CE = \frac{6 \cdot \sin(60^{\circ})}{\sin(45^{\circ})} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{6}}{2} = 3\sqrt{6} \text{ см} \]
- Длина AC:
- В треугольнике ABC: \[ \tan(A) = \frac{BC}{AC} \]
- \[ \tan(30^{\circ}) = \frac{BC}{AC} \]
- \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{AC} \]
- \[ AC = BC \cdot \sqrt{3} \]
- Теперь найдем BC. В треугольнике BCE: \[ \frac{BC}{\sin(\angle BEC)} = \frac{BE}{\sin(\angle BCE)} \]
- \[ \frac{BC}{\sin(75^{\circ})} = \frac{6}{\sin(45^{\circ})} \]
- \[ BC = \frac{6 \cdot \sin(75^{\circ})}{\sin(45^{\circ})} \]
- \[ \sin(75^{\circ}) = \sin(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \sin(45^{\circ})\cos(30^{\circ}) + \cos(45^{\circ})\sin(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]
- \[ BC = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 3(\sqrt{3} + 1) \text{ см} \]
- \[ AC = BC \cdot \sqrt{3} = 3(\sqrt{3} + 1) \cdot \sqrt{3} = 3(3 + \sqrt{3}) = 9 + 3\sqrt{3} \text{ см} \]
Ответ:
- Угол BEA: \[ 105^{\circ} \]
- Длина CE: \[ 3\sqrt{6} \text{ см} \]
- Длина AC: \[ 9 + 3\sqrt{3} \text{ см} \]
Похожие
