2) В треугольнике ABC, угол C равен 90 градусов, угол A равен 45 градусов, CD - высота. Длина CD равна 4 см. Найдите длину AD и длину AB.

Решение:

• Углы треугольника ABC:
  • \[ \angle C = 90^{\circ} \]
  • \[ \angle A = 45^{\circ} \]
  • \[ \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \]
  • Так как \[ \angle A = \angle B \], треугольник ABC - равнобедренный, BC = AC.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC:
  • CD - высота, значит \[ \angle CDA = 90^{\circ} \]
  • \[ \angle A = 45^{\circ} \]
  • \[ \angle ACD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \]
  • Так как \[ \angle A = \angle ACD \], треугольник ADC - равнобедренный, AD = CD.
  • \[ AD = 4 \text{ см} \]
• Длина AB:
  • В прямоугольном треугольнике ADC: \[ \sin(A) = \frac{CD}{AC} \]
  • \[ \sin(45^{\circ}) = \frac{4}{AC} \]
  • \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4}{AC} \]
  • \[ AC = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \text{ см} \]
  • Так как треугольник ABC равнобедренный, BC = AC = \( 4\sqrt{2} \) см.
  • По теореме Пифагора для треугольника ABC: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
  • \[ AB^2 = (4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 \]
  • \[ AB^2 = 16 \cdot 2 + 16 \cdot 2 = 32 + 32 = 64 \]
  • \[ AB = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \]

Ответ:

• Длина AD: \[ 4 \text{ см} \]
• Длина AB: \[ 8 \text{ см} \]