3) В треугольнике ABC, M - середина стороны AB. AC = BC, угол A равен 60 градусов. Длина CM равна 6 см. Найдите длину AB и угол BCM.

Решение:

• Углы треугольника ABC:
  • Так как AC = BC, треугольник ABC - равнобедренный.
  • \[ \angle A = 60^{\circ} \]
  • \[ \angle B = \angle A = 60^{\circ} \]
  • \[ \angle C = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ} \]
  • Так как все углы равны 60 градусов, треугольник ABC - равносторонний.
• Длина AB:
  • В равностороннем треугольнике все стороны равны.
  • CM - медиана, проведенная к основанию равнобедренного (и равностороннего) треугольника, является также высотой и биссектрисой.
  • Рассмотрим прямоугольный треугольник AMC: \[ \angle AMC = 90^{\circ} \]
  • \[ \angle CAM = 60^{\circ} \]
  • \[ \angle ACM = 30^{\circ} \]
  • По теореме Пифагора: \[ AC^2 = AM^2 + CM^2 \]
  • Так как M - середина AB, то \( AM = \frac{AB}{2} \).
  • \[ AC^2 = (\frac{AB}{2})^2 + 6^2 \]
  • Так как треугольник равносторонний, AC = AB.
  • \[ AB^2 = \frac{AB^2}{4} + 36 \]
  • \[ AB^2 - \frac{AB^2}{4} = 36 \]
  • \[ \frac{3AB^2}{4} = 36 \]
  • \[ AB^2 = \frac{36 \cdot 4}{3} = 12 \cdot 4 = 48 \]
  • \[ AB = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \text{ см} \]
• Угол BCM:
  • CM - биссектриса угла C.
  • \[ \angle BCM = \frac{\angle C}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \]

Ответ:

• Длина AB: \[ 4\sqrt{3} \text{ см} \]
• Угол BCM: \[ 30^{\circ} \]