1) В треугольнике АВС проведена высота СН. Известно, что ∠CAB = 45°, ∠BCH = 60°. Укажите номера верных утверждений: 1) AB = 2BC 2) AC = 2CH 3) BC = 2CH 4) AC = BC 5) CH = BH 6) AH = CH.

Анализ задачи:

В прямоугольном треугольнике ABC с высотой CH:

• \[ \angle ACB = 90^{\circ} \]
• \[ \angle CAB = 45^{\circ} \]
• \[ \angle CBA = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \]
• Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный, AB = BC.
• \[ \angle BCH = 60^{\circ} \]
• \[ \angle ACH = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \]

Проверка утверждений:

• 1) AB = 2BC: Неверно, так как AB = BC.
• 2) AC = 2CH: В прямоугольном треугольнике ACH, ∠ACH = 30°, значит, гипотенуза AH = 2CH. AC ≠ 2CH.
• 3) BC = 2CH: В прямоугольном треугольнике BCH, ∠BCH = 60°, ∠CBH = 30°. Следовательно, BH = CH/2. BC = CH / sin(60°) = CH / (√3/2) = 2CH/√3 ≠ 2CH.
• 4) AC = BC: Верно, так как ∠CAB = ∠CBA = 45°.
• 5) CH = BH: Неверно, так как в △BCH, ∠CBH = 30°, BH = CH/tg(30°) = CH √3.
• 6) AH = CH: Неверно, так как в △ACH, ∠ACH = 30°, AH = CH/cos(30°) = CH / (√3/2) = 2CH/√3.

Ответ: 4