3) Треугольник CDE прямоугольный с прямым углом С, ∠ECH = 30°, CH ⊥ ED, CD = 14. Найдите высоту СН.

Анализ задачи:

△CDE - прямоугольный (∠C = 90°). CH - высота, проведенная к гипотенузе ED. ∠ECH = 30°. CD = 14.

Решение:

1. Шаг 1: В прямоугольном треугольнике CDE, ∠CED = 90° - ∠D.
2. Шаг 2: В прямоугольном треугольнике CDE, ∠D + ∠DEC = 90°.
3. Шаг 3: В прямоугольном треугольнике CHE, ∠CEH = 90° - ∠ECH = 90° - 30° = 60°.
4. Шаг 4: В прямоугольном треугольнике CDE, ∠D = 90° - ∠CED.
5. Шаг 5: В прямоугольном треугольнике CDH, ∠D + ∠DCH = 90°.
6. Шаг 6: В прямоугольном треугольнике CDH, ∠DCH = 90° - ∠D.
7. Шаг 7: ∠ECD = ∠ECH + ∠HCD.
8. Шаг 8: Рассматриваем △CDE. ∠C = 90°. CH ⊥ ED. ∠ECH = 30°. CD = 14.
9. Шаг 9: В △CHE: ∠CHE = 90°. ∠CEH = 90° - ∠ECH = 90° - 30° = 60°.
10. Шаг 10: В △CDH: ∠CHD = 90°. ∠DCH = 90° - ∠D.
11. Шаг 11: В △CDE: ∠C = 90°. ∠D + ∠CED = 90°.
12. Шаг 12: Также ∠ECD = ∠ECH + ∠HCD = 90°.
13. Шаг 13: Углы ∠D и ∠ECH равны, так как являются накрест лежащими углами при параллельных прямых CH и DE и секущей CD. (Это неверно, CH не параллельна DE).
14. Шаг 14: В прямоугольном △CDE: ∠D + ∠CED = 90°.
15. Шаг 15: В △CHE: ∠CEH = 90° - 30° = 60°.
16. Шаг 16: ∠CED = 60°.
17. Шаг 17: В △CDE: ∠D = 90° - 60° = 30°.
18. Шаг 18: Теперь рассмотрим △CDH. ∠CHD = 90°. ∠D = 30°.
19. Шаг 19: В △CDH: CH = CD * sin(∠D) = 14 * sin(30°).
20. Шаг 20: sin(30°) = 1/2.
21. Шаг 21: CH = 14 * (1/2) = 7.

Ответ: 7