1. В треугольнике BDK известно, что ∠B = 55°, ∠D=110°. Укажите верное неравенство:

Решение:

Сумма углов треугольника равна 180°. Найдём угол ∠K:

\( \angle K = 180° - \angle B - \angle D \)

В данном треугольнике ∠B = 55°, ∠D = 110°. Сумма этих углов 55° + 110° = 165°. Следовательно, ∠K = 180° - 165° = 15°.

Теперь сравним углы:

• \( \angle B = 55° \)
• \( \angle D = 110° \)
• \( \angle K = 15° \)

В треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. Напротив угла ∠D (110°) лежит сторона BK. Напротив угла ∠B (55°) лежит сторона DK. Напротив угла ∠K (15°) лежит сторона BD.

Так как \( \angle D > \angle B > \angle K \), то и стороны напротив этих углов соотносятся так: \( BK > DK > BD \).

Проверим предложенные варианты:

1. \( BK > BD \) — верно.
2. \( BK > DK \) — верно.
3. \( DK < BD \) — неверно, так как \( DK > BD \).
4. \( BD > DK \) — неверно, так как \( BD < DK \).

В задании сказано «Укажите верное неравенство». Есть два верных неравенства: 1) BK > BD и 2) BK > DK. Если предполагается только один верный ответ, то скорее всего имелось в виду сравнение сторон, непосредственно прилегающих к углу D.

Угол ∠D=110° является тупым. В тупоугольном треугольнике напротив тупого угла лежит наибольшая сторона. Это сторона BK. Следовательно, BK — наибольшая сторона.

Сравним стороны BK и DK. Напротив ∠B лежит DK, напротив ∠D лежит BK. Так как ∠D > ∠B, то BK > DK.

Сравним стороны DK и BD. Напротив ∠K лежит BD, напротив ∠B лежит DK. Так как ∠B > ∠K, то DK > BD.

Таким образом, BK > DK > BD.

Проверим варианты:

1. BK > BD — Верно.
2. BK > DK — Верно.
3. DK < BD — Неверно.
4. BD > DK — Неверно.

Если нужно выбрать ОДИН верный ответ, то вариант 1) BK > BD является наиболее общим следствием, а вариант 2) BK > DK также верен. Будем считать, что вопрос подразумевает сравнение любой пары сторон.

Ответ: 1) BK > BD