1. В треугольнике MNK медианы MA и NB пересекаются в точке C и образуют угол в 45°. Найдите площадь треугольника MNK, если MA = 12, NB = 9.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому отрезки от вершин до точки C равны:

\(MC=\frac{2}{3}\cdot12=8\), \(NC=\frac{2}{3}\cdot9=6\).

Площадь треугольника MCN по двум сторонам и углу между ними:

\(S_{MCN}=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6\cdot\sin45^\circ=12\sqrt{2}\).

Треугольники, образованные двумя медианами, делят исходный треугольник на шесть треугольников равной площади. Треугольник MCN состоит из двух таких частей, поэтому \(S_{MNK}=3S_{MCN}\).

Ответ: \(36\sqrt{2}\).