№ 3. В параллелограмме MNKP MN = 4, MP = 6, NP = 2√7. Найдите МК.

Решение:

В параллелограмме MNKP стороны MN и KP равны, а стороны MP и NK равны. Следовательно, \( MN = KP = 4 \) и \( MP = NK = 6 \).

В треугольнике MNР стороны равны \( MN=4 \), \( NP=2\sqrt{7} \), \( MP=6 \).

По теореме косинусов найдем угол \( \angle N \) в треугольнике MNР:

\[ MP^2 = MN^2 + NP^2 - 2 @ MN @ NP @ \cos(\angle N) \]

\[ 6^2 = 4^2 + (2\sqrt{7})^2 - 2 @ 4 @ 2\sqrt{7} @ \cos(\angle N) \]

\[ 36 = 16 + 4 @ 7 - 16\sqrt{7} @ \cos(\angle N) \]

\[ 36 = 16 + 28 - 16\sqrt{7} @ \cos(\angle N) \]

\[ 36 = 44 - 16\sqrt{7} @ \cos(\angle N) \]

\[ 16\sqrt{7} @ \cos(\angle N) = 44 - 36 = 8 \]

\[ \cos(\angle N) = \frac{8}{16\sqrt{7}} = \frac{1}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{14} \]

В параллелограмме \( \angle M + \angle N = 180^{\circ} \). Следовательно, \( \cos(\angle M) = \cos(180^{\circ} - \angle N) = -\cos(\angle N) = -\frac{\sqrt{7}}{14} \).

Теперь рассмотрим треугольник MNK. Стороны \( MN = 4 \) и \( NK = 6 \). Найдем диагональ MK по теореме косинусов:

\[ MK^2 = MN^2 + NK^2 - 2 @ MN @ NK @ \cos(\angle N) \]

\[ MK^2 = 4^2 + 6^2 - 2 @ 4 @ 6 @ \frac{\sqrt{7}}{14} \]

\[ MK^2 = 16 + 36 - 48 @ \frac{\sqrt{7}}{14} = 52 - \frac{24\sqrt{7}}{7} \]

Другой способ: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон.

\[ MK^2 + NP^2 = 2(MN^2 + MP^2) \]

\[ MK^2 + (2\sqrt{7})^2 = 2(4^2 + 6^2) \]

\[ MK^2 + 28 = 2(16 + 36) \]

\[ MK^2 + 28 = 2(52) \]

\[ MK^2 + 28 = 104 \]

\[ MK^2 = 104 - 28 = 76 \]

\[ MK = \sqrt{76} = \sqrt{4 @ 19} = 2\sqrt{19} \]

Ответ: $$2\sqrt{19}$$.