1. В треугольнике PKM ∠K = 40°, PK = 2, KM = 5. Найдите неизвестные элементы треугольника.

Обозначим сторону напротив угла K через PM.

1. По теореме косинусов: \(PM^2=PK^2+KM^2-2\cdot PK\cdot KM\cdot\cos K=2^2+5^2-2\cdot2\cdot5\cos40^\circ=29-20\cos40^\circ\). Поэтому \(PM\approx3.699\).
2. По теореме синусов: \(\frac{\sin P}{KM}=\frac{\sin K}{PM}\), откуда \(P\approx119.66^\circ\).
3. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому \(M=180^\circ-40^\circ-119.66^\circ\approx20.34^\circ\).

Ответ: \(PM\approx3.699\), \(\angle P\approx119.66^\circ\), \(\angle M\approx20.34^\circ\).