2. В равнобедренном треугольнике ABC AB = BC, ∠A = 65°. Через середину E стороны AB проведена прямая, пересекающая BC в точке K, ∠KEB = 20°. Найдите площадь треугольника BEK и радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BK = 5.

1. Так как \(AB=BC\), углы при основании равны: \(\angle C=\angle A=65^\circ\). Тогда \(\angle B=180^\circ-65^\circ-65^\circ=50^\circ\).
2. В треугольнике BEK углы при B и E равны \(50^\circ\) и \(20^\circ\), поэтому \(\angle K=110^\circ\).
3. По теореме синусов \(BE=\frac{BK\sin110^\circ}{\sin20^\circ}=\frac{5\sin110^\circ}{\sin20^\circ}\approx13.737\). Так как E — середина AB, \(AB=2BE\approx27.475\).
4. Площадь BEK: \(S_{BEK}=\frac12\cdot BE\cdot BK\cdot\sin50^\circ=\frac{25\sin110^\circ\sin50^\circ}{2\sin20^\circ}\approx26.31\).
5. Для описанной окружности ABC используем \(AB=2R\sin\angle C\): \(R=\frac{AB}{2\sin65^\circ}=\frac{5\sin110^\circ}{\sin20^\circ\sin65^\circ}\approx15.16\).

Ответ: площадь треугольника BEK приблизительно равна 26,31; радиус описанной окружности ABC приблизительно равен 15,16.