1 вариант. 2. KMNP — параллелограмм. Выразите через векторы $\vec m=\overrightarrow{KM}$ и $\vec n=\overrightarrow{KP}$ векторы $\overrightarrow{MA}$ и $\overrightarrow{AB}$, где A — точка на отрезке PN такая, что PA:AN=2:1, B — середина отрезка MN.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1 вариант. 2. KMNP — параллелограмм. Выразите через векторы $\vec m=\overrightarrow{KM}$ и $\vec n=\overrightarrow{KP}$…$ Фото задания

1 вариант. 2. KMNP — параллелограмм. Выразите через векторы $\vec m=\overrightarrow{KM}$ и $\vec n=\overrightarrow{KP}$ векторы $\overrightarrow{MA}$ и $\overrightarrow{AB}$, где A — точка на отрезке PN такая, что PA:AN=2:1, B — середина отрезка MN.

Accepted Answer

Положим начало в точке K. В параллелограмме $\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{KM}=\vec m$, поэтому $\overrightarrow{KN}=\vec m+\vec n$.

Так как $PA:AN=2:1$, точка A делит PN в отношении 2:1 от P к N: $\overrightarrow{PA}=\frac23\vec m$. Следовательно, $\overrightarrow{KA}=\vec n+\frac23\vec m$, и
$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KM}=\vec n-\frac13\vec m$.
B — середина MN, значит $\overrightarrow{KB}=\frac12(\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{KN})=\vec m+\frac12\vec n$. Тогда
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{KA}=\frac13\vec m-\frac12\vec n$.

Ответ: $\overrightarrow{MA}=\vec n-\frac13\vec m$, $\overrightarrow{AB}=\frac13\vec m-\frac12\vec n$.