1 вариант. 6. В равнобокой трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции 60 см.

Так как \(AD\parallel BC\), из равенства накрест лежащих углов следует \(\angle DBC=\angle ADB=30^\circ\). В треугольнике BCD углы при B и D равны по \(30^\circ\), поэтому \(BC=CD\). Трапеция равнобокая, значит \(AB=CD\), следовательно, \(AB=BC\).

Треугольник ABD прямоугольный при B: \(AB\perp BD\), а \(\angle ADB=30^\circ\). Поэтому \(AB=\frac{AD}{2}\), а \(BD=\frac{\sqrt{3}}{2}AD\). По соотношению сторон треугольника BCD с углами \(30^\circ,30^\circ,120^\circ\), получаем \(CD=\frac{BD}{\sqrt{3}}=\frac{AD}{2}\). Значит, \(AB=CD=\frac{AD}{2}\), а из \(BC=CD\) также \(BC=\frac{AD}{2}\).

Периметр: \(AD+AB+BC+CD=AD+\frac{3AD}{2}=60\). Отсюда \(\frac{5AD}{2}=60\), поэтому \(AD=24\) см.

Ответ: 24 см.