1. Вариант Б1. Даны точки A(2; 1), B(1; 1), C(2; −1). а) Найдите координаты и абсолютную величину вектора −2AB. б) Найдите вектор, равный BA − BC. в) Найдите ∠CAB. Вариант Б2. Даны точки A(−1; 2), B(1; 2), C(−1; 0). а) Найдите координаты и абсолютную величину вектора 3AC. б) Найдите вектор, равный CB − CA. в) Найдите ∠CAB.

Вариант Б1

а) Сначала найдём координаты вектора AB: \(\overrightarrow{AB}=(1-2;1-1)=(-1;0)\). Умножаем его координаты на −2: \(-2\overrightarrow{AB}=(2;0)\). Абсолютная величина: \(\sqrt{2^2+0^2}=2\).

б) \(\overrightarrow{BA}=(1;0)\), \(\overrightarrow{BC}=(1;-2)\). Тогда \(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=(1;0)-(1;-2)=(0;2)\).

в) \(\overrightarrow{AC}=(0;-2)\), \(\overrightarrow{AB}=(-1;0)\). Их скалярное произведение равно нулю, поэтому угол между ними прямой: \(\angle CAB=90^\circ\).

Вариант Б2

а) \(\overrightarrow{AC}=(-1-(-1);0-2)=(0;-2)\). Значит, \(3\overrightarrow{AC}=(0;-6)\), а его абсолютная величина равна \(\sqrt{0^2+(-6)^2}=6\).

б) \(\overrightarrow{CB}=(2;2)\), \(\overrightarrow{CA}=(0;2)\). Поэтому \(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=(2;2)-(0;2)=(2;0)\).

в) \(\overrightarrow{AC}=(0;-2)\), \(\overrightarrow{AB}=(2;0)\). Их скалярное произведение равно нулю, следовательно, \(\angle CAB=90^\circ\).

Ответ: Б1 — а) (2; 0), длина 2; б) (0; 2); в) 90°. Б2 — а) (0; −6), длина 6; б) (2; 0); в) 90°.