3. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны CD, точка K — середина стороны BC. Выразите через векторы AB = a и AD = b векторы MB и KM (вариант Б1); векторы KD и MK (вариант Б2).

Положим точку A в начало отсчёта. Тогда \(B=\vec a\), \(D=\vec b\), а для параллелограмма \(C=\vec a+\vec b\).

Вариант Б1. Так как M — середина CD, \(M=(C+D)/2=\vec b+\frac12\vec a\). Так как K — середина BC, \(K=(B+C)/2=\vec a+\frac12\vec b\).

\(\overrightarrow{MB}=B-M=\vec a-(\vec b+\frac12\vec a)=\frac12\vec a-\vec b\).

\(\overrightarrow{KM}=M-K=(\vec b+\frac12\vec a)-(\vec a+\frac12\vec b)=\frac12\vec b-\frac12\vec a\).

Вариант Б2. \(\overrightarrow{KD}=D-K=\vec b-(\vec a+\frac12\vec b)=\frac12\vec b-\vec a\).

\(\overrightarrow{MK}=K-M=(\vec a+\frac12\vec b)-(\vec b+\frac12\vec a)=\frac12\vec a-\frac12\vec b\).

Ответ: Б1 — \(\overrightarrow{MB}=\frac12\vec a-\vec b\), \(\overrightarrow{KM}=\frac12\vec b-\frac12\vec a\); Б2 — \(\overrightarrow{KD}=\frac12\vec b-\vec a\), \(\overrightarrow{MK}=\frac12\vec a-\frac12\vec b\).