1 Вершины треугольника АВС имеют координаты: А (1; 6; 2), B(2; 3; −1), C(-3; 4; 5). Разложите векторы АВ, ВС и СА по коор-динатным векторам і, и к.

Решение:

Чтобы разложить векторы по координатным векторам \( \vec{i} \), \( \vec{j} \) и \( \vec{k} \), нужно найти координаты каждого вектора.

1. Вектор \( \vec{AB} \):
   \( \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) \)
   \( \vec{AB} = (2 - 1; 3 - 6; -1 - 2) \)
   \( \vec{AB} = (1; -3; -3) \)
   Разложение по координатным векторам: \( \vec{AB} = 1\vec{i} - 3\vec{j} - 3\vec{k} \)
2. Вектор \( \vec{BC} \):
   \( \vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) \)
   \( \vec{BC} = (-3 - 2; 4 - 3; 5 - (-1)) \)
   \( \vec{BC} = (-5; 1; 6) \)
   Разложение по координатным векторам: \( \vec{BC} = -5\vec{i} + 1\vec{j} + 6\vec{k} \)
3. Вектор \( \vec{CA} \):
   \( \vec{CA} = (x_A - x_C; y_A - y_C; z_A - z_C) \)
   \( \vec{CA} = (1 - (-3); 6 - 4; 2 - 5) \)
   \( \vec{CA} = (4; 2; -3) \)
   Разложение по координатным векторам: \( \vec{CA} = 4\vec{i} + 2\vec{j} - 3\vec{k} \)

Ответ: \( \vec{AB} = \vec{i} - 3\vec{j} - 3\vec{k} \), \( \vec{BC} = -5\vec{i} + \vec{j} + 6\vec{k} \), \( \vec{CA} = 4\vec{i} + 2\vec{j} - 3\vec{k} \).