2 Даны точки А (3; −1; 5), B(2; 3; −4), С(7; 0; -1) и D (8; −4; 8). Докажите, что векторы АВ и DC равны. Равны ли векторы ВС и АД?

Решение:

Чтобы доказать равенство векторов, нужно найти их координаты. Если координаты двух векторов совпадают, то векторы равны.

1. Найдём координаты вектора \( \vec{AB} \):
   \( \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) \)
   \( \vec{AB} = (2 - 3; 3 - (-1); -4 - 5) \)
   \( \vec{AB} = (-1; 4; -9) \)
2. Найдём координаты вектора \( \vec{DC} \):
   \( \vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D) \)
   \( \vec{DC} = (7 - 8; 0 - (-4); -1 - 8) \)
   \( \vec{DC} = (-1; 4; -9) \)
   Вывод: Координаты векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{DC} \) совпадают. Следовательно, векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{DC} \) равны.
3. Найдём координаты вектора \( \vec{BC} \):
   \( \vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) \)
   \( \vec{BC} = (7 - 2; 0 - 3; -1 - (-4)) \)
   \( \vec{BC} = (5; -3; 3) \)
4. Найдём координаты вектора \( \vec{AD} \):
   \( \vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A) \)
   \( \vec{AD} = (8 - 3; -4 - (-1); 8 - 5) \)
   \( \vec{AD} = (5; -3; 3) \)
   Вывод: Координаты векторов \( \vec{BC} \) и \( \vec{AD} \) совпадают. Следовательно, векторы \( \vec{BC} \) и \( \vec{AD} \) тоже равны.

Ответ: Векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{DC} \) равны, так как их координаты \( (-1; 4; -9) \). Векторы \( \vec{BC} \) и \( \vec{AD} \) также равны, их координаты \( (5; -3; 3) \).