1. Вычислить: 1) $\dfrac{15^{2/3}\cdot 3^{7/3}}{5^{-1/3}}$; 2) $\left(\dfrac45\right)^{-2}-\left(\dfrac1{27}\right)^{1/3}+4\cdot37^0:3$; 3) $\left(\sqrt[3]{128}+\dfrac14\right)^3:\sqrt[3]{2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Вычислить: 1) $\dfrac{15^{2/3}\cdot 3^{7/3}}{5^{-1/3}}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим 15 на простые множители и применим свойства степеней:
$\dfrac{15^{2/3}\cdot3^{7/3}}{5^{-1/3}}=\dfrac{3^{2/3}5^{2/3}\cdot3^{7/3}}{5^{-1/3}}=3^3\cdot5=135.$
Вычислим степени и корень, учитывая порядок действий:
$\left(\dfrac45\right)^{-2}-\left(\dfrac1{27}\right)^{1/3}+4\cdot37^0:3=\dfrac{25}{16}-\dfrac13+\dfrac43=\dfrac{41}{16}.$
Так как $\sqrt[3]{128}=4\sqrt[3]{2}$, раскроем куб суммы. Обозначим $x=\sqrt[3]{2}$, тогда $x^3=2$:
$\dfrac{(4x+\frac14)^3}{x}=\dfrac{64x^3+12x^2+\frac34x+\frac1{64}}{x}=64x^2+12x+\frac34+\dfrac1{64x}.$
Используем $x^2=\sqrt[3]{4}$ и $\dfrac1x=\dfrac{x^2}{2}$:
$64\sqrt[3]{4}+12\sqrt[3]{2}+\dfrac34+\dfrac{\sqrt[3]{4}}{128}=\dfrac{8193}{128}\sqrt[3]{4}+12\sqrt[3]{2}+\dfrac34.$

Ответ: 1) 135; 2) $\dfrac{41}{16}$; 3) $\dfrac{8193}{128}\sqrt[3]{4}+12\sqrt[3]{2}+\dfrac34$.

1. Вычислить: 1) \(\dfrac{15^{2/3}\cdot 3^{7/3}}{5^{-1/3}}\); 2) \(\left(\dfrac45\right)^{-2}-\left(\dfrac1{27}\right)^{1/3}+4\cdot37^0:3\); 3) \(\left(\sqrt[3]{128}+\dfrac14\right)^3:\sqrt[3]{2}\).